线段树总结

mrh929

6 年前

线段树总结

引入：有一个数组data[1000000]，如果有m个操作(m<=50000)，操作如下：

修改一个数（加或减）
求l到r的所有元素的和

对于通常的题目，用一个sum[i]数组记录1~i的和，即可将任何的区间和在O(1)的时间之内求出。然而对于操作一，显然就显得很耗时间，至少会花费O(n)，由此可以看出这样的做法是有一定缺陷的，由此线段树便产生了。

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

我们从1~n的区间开始，依次往下二分加入更小的区间，直到区间长度为1

如图，这里的左闭右开区间类似于闭区间，表示的元素集合基本相同，我们看到，线段树并不是一个完全二叉树，但是十分类似于完全二叉树，由此可以得到线段树的一般存储方式，用完全二叉树进行存储。

操作1中，只能修改一个数，如果要修改线段树的整个区间，要添加n次数，大大增加了线段树的时间。

解决方法：定义一个lazy数组，当我们在遍历过程中，发现需要存储的区间已经包含了当前遍历的区间，我们就可以将需要修改的数值通过lazy暂存在此处，直到下一次我们还需要添加数或者在查找区间和时，再调用lazy，将更深处的sum值更新

这样就得到了添加元素的通用做法，将所有修改点的操作看作修改长度为1的区间，这样大大增加了算法的普适性

更紧凑的存储方式

刚刚提到线段树不完全属于完全二叉树，所以用堆的方式存储会引起内存的浪费，以下方式可以做到对内存的一定节省。

对于节点区间为[l,r)的结点，我们将其地址映射到(l+r-1)|( (r-1)!=1)，其中(r-l)!=1用来判断r与l差值是否为1。可将使用的空间精确无误地映射到[0,2n-2]中

关于开数组的tips：

对于堆的开法，数组大小至少4n
对于紧凑的储存方式，可以适当开2n

Hdu 1166 敌兵布阵

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

12 3 4 5 6 7 8 9 10

Query1 3

Add3 6

Query2 7

Sub10 2

Add6 3

Query3 10

End

Sample Output

Case1:

#include
#define MAX 1000020
#define lson l,m,rt<<1 //左儿子 
#define rson m+1,r,rt<<1|1 //右儿子 
//闭区间线段树 
int sum[MAX];
char str[10];
void PushUP(int rt) {
    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void Revise(int p,int data,int l,int r,int rt){
    if(l==r){//区间长度为1 
        sum[rt]+=data;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;//取中点 
    if(p<=m) Revise(p,data,lson);//向左递归线段树 
    else Revise(p,data,rson);//向右递归线段树 
    PushUP(rt);//更新根节点的sum 
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//[L,R]为查找的区间 ，[l,r]为当前遍历的区间 
    if(L<=l&&R>=r) //查找的区间包含遍历的区间
        return sum[rt];
    int m=(l+r)>>1,tot=0;
    if(L<=m) tot+=Query(L,R,lson);
    if(R>m) tot+=Query(L,R,rson);
    return tot;
}

void build(int l,int r,int rt) {
    if (l==r){
        scanf("%d",&sum[rt]);
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUP(rt);//更新根节点的sum 
}

int main(){
//   freopen("in.txt","r",stdin);
    int t,n,a,b;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        scanf("%d",&n);
/*       for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a);
            Revise(j,a,1,n,1);
        }*/
        build(1,n,1);
        printf("Case %d:\n",i);
        while(scanf("%s",str)!=EOF&&str[0]!='E'){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(str[0]=='A') Revise(a,b,1,n,1);
            else if(str[0]=='S') Revise(a,-b,1,n,1);
            else printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
        }
    }
    
    return 0;
}

hdu 1754 I Hate It

Problem Description

很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问，从某某到某某当中，分数最高的是多少。

这让很多学生很反感。

不管你喜不喜欢，现在需要你做的是，就是按照老师的要求，写一个程序，模拟老师的询问。当然，老师有时候需要更新某位同学的成绩。

Input

本题目包含多组测试，请处理到文件结束。

在每个测试的第一行，有两个正整数 N 和 M ( 0<N<=200000,0<M<5000 )，分别代表学生的数目和操作的数目。

学生ID编号分别从1编到N。

第二行包含N个整数，代表这N个学生的初始成绩，其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。

接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取'Q'或'U') ，和两个正整数A，B。

当C为'Q'的时候，表示这是一条询问操作，它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中，成绩最高的是多少。

当C为'U'的时候，表示这是一条更新操作，要求把ID为A的学生的成绩更改为B。

Output

对于每一次询问操作，在一行里面输出最高成绩。

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

Q 1 5

U 3 6

Q 3 4

Q 4 5

U 2 9

Q 1 5

Sample Output

5 6 5 9

Hint

Huge input,the C function scanf() will workbetter than cin

线段树稍微变了一点点型，在更新每个结点的时候取最大值而不取和

#include
#include
#include
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

using namespace std;
const int MAX=1000000;
int sum[MAX];
void PushUP(int rt){
    sum[rt]=max(sum[rt<<1],sum[rt<<1|1]);
}

void Build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        scanf("%d",&sum[rt]);
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    Build(lson);
    Build(rson);
    PushUP(rt);
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
    int m=(l+r)>>1,maxx=-1;
    if(L<=m) maxx=max(maxx,Query(L,R,lson));
    if(R>=m+1) maxx=max(maxx,Query(L,R,rson));
    return maxx;
}

void Revise(int p,int data,int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        sum[rt]=data;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(p<=m) Revise(p,data,lson);
    else Revise(p,data,rson);
    PushUP(rt);
}

int main(){
//   freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,m,a,b; char c;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        Build(1,n,1);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            getchar();
            c=getchar();
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(c=='U') Revise(a,b,1,n,1);
            else printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
        }
    }
}

poj 2299

题意：

求逆序对

#include
#include
#include
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define MAX 500020
using namespace std;
int data[MAX],t[MAX],sum[MAX<<2];
bool flag[MAX];

void PushUP(int rt){
    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

int Find(int s,int e,int aim){
    while(s<=e){
        int mid=(s+e)>>1;
        if(t[mid]==aim){
            while(t[mid-1]==t[mid]){
                flag[mid]=-1;
                mid--;
            }
            return mid;
        }
        else if(t[mid]>aim) e=mid-1;
        else s=mid+1;
    }
}

void Revise(int p,int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        sum[rt]+=1;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(p<=m) Revise(p,lson);
    else Revise(p,rson);
    PushUP(rt);
}

long long View(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
    int m=(l+r)>>1;
    long long tot=0;
    if(L<=m) tot+=View(L,R,lson);
    if(R>=m+1) tot+=View(L,R,rson);
    return tot;
}

int main(){
//   freopen("in.txt","r",stdin);
    int n; long long ans;
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&data[i]);
            t[i]=data[i];
        }
        sort(t+1,t+1+n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int f=Find(1,n,data[i]);
            ans+=View(f+1,n,1,n,1);
            Revise(f,1,n,1);  
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    
    
    
    return 0;
}

POJ3468

Description

You have N integers, A1, A2, ... , AN. Youneed to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add somegiven number to each number in a given interval. The other is to ask for thesum of numbers in a given interval.

Input

The first line contains two numbers N andQ. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.

The second line contains N numbers, theinitial values of A1, A2, ... , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.

Each of the next Q lines represents anoperation.

"C a b c" means adding c to eachof Aa, Aa+1, ... , Ab. -10000 ≤ c ≤ 10000.

"Q a b" means querying the sum ofAa, Aa+1, ... , Ab.

Output

You need to answer all Q commands in order.One answer in a line.

Sample Input

10 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q 4 4

Q 1 10

Q 2 4

C 3 6 3

Q 2 4

Sample Output

题意：

给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘Ca b c’是把a~b这段数都加上c。

#include
#include
#include
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
const int MAX=100020;
long long data[MAX],sum[MAX<<2],lazy[MAX<<2];

void PushUp(int rt){
    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void PushDown(int rt,int m){
    if(lazy[rt]){//如果lazy存在 
        lazy[rt<<1]+=lazy[rt];//加lazy值 
        lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];
        sum[rt<<1]+=(m-(m>>1))*lazy[rt];//左儿子所包含的数
        sum[rt<<1|1]+=(m>>1)*lazy[rt];//右儿子所包含的数
        lazy[rt]=0; 
    }
}

void Build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        scanf("%lld",&sum[rt]);
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    Build(lson);
    Build(rson);
    PushUp(rt);
}

void Revise(int L,int R,int data,int l,int r,int rt){
    if(l>=L&&r<=R){
        lazy[rt]+=data;
        sum[rt]+=data*(r-l+1);
        return;
    }
    PushDown(rt,r-l+1);
    int m=(l+r)>>1;
    if(L<=m) Revise(L,R,data,lson);
    if(R>=m+1) Revise(L,R,data,rson);
    PushUp(rt);
}

long long View(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(l>=L&&r<=R) return sum[rt];
    PushDown(rt,r-l+1);
    int m=(l+r)>>1;
    long long tot=0;
    if(L<=m) tot+=View(L,R,lson);
    if(R>m) tot+=View(L,R,rson);
    return tot;   
}

int main(){
//   freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,q,a,b,c;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    Build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        getchar();
        if(getchar()=='C'){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            Revise(a,b,c,1,n,1);
        }else{
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%lld\n",View(a,b,1,n,1));
        }
    }
    
    
    
    return 0;
}